Tìm M sao cho góc nhìn của M tới hai đểm F1; F2 (tức là góc góc F1MF2 là lớn nhất ?

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí côsin trong tam giác MF₁F₂, ta có

\(\cos \widehat {{F_1}M{F_2}} = \frac{{MF_1^2 + MF_2^2 - {F_1}F_2^2}}{{2.M{F_1}.M{F_2}}}\)

\( = \frac{{{{\left( {\sqrt 2 + \frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 - \frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2} - {2^2}}}{{2.\left( {\sqrt 2 + \frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }}} \right).\left( {\sqrt 2 - \frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }}} \right)}} = \frac{{x_0^2}}{{4 - x_0^2}}\)

Ta có: \(\frac{{x_0^2}}{2} = 1 - y_0^2 \le 1\) ⇔ 0 ≤ x₀² ≤ 2 ⇒ 4 – x₀² > 0.

Suy ra \(\cos \widehat {{F_1}M{F_2}} \ge 0 \Rightarrow \widehat {{F_1}M{F_2}} \le 90^\circ \)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x₀ = 0 ⇒ y₀  = ±1

Vậy M(0; 1) hoặc M(0; –1) thì M nhìn hai tiêu điểm dưới góc nhìn lớn nhất.