Ta có \(\Delta = {(3 - m)^2} - 4( - 2m + 3) = {m^2} + 2m - 3\)

- Nếu \(m = 1\) thì bpt trở thành \({x^2} + 2x + 1 > 0 \Leftrightarrow {(x + 1)^2} > 0 \Leftrightarrow x \ne - 1\) thỏa mãn.

- Nếu \(m = - 3\) thì bpt trở thành \({x^2} + 6x + 9 > 0 \Leftrightarrow {(x + 3)^2} > 0 \Leftrightarrow x \ne - 3\) thỏa mãn

- Nếu \( - 3 < m < 1\) thì \(\Delta < 0\) mà hệ số \(a = 1 > 0\) nên \({x^2} + (3 - m)x - 2m + 3 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

Suy ra tập nghiệm của bpt là \(\mathbb{R}\) (thỏa mãn).

- Nếu \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < - 3}\\{m > 1}\end{array}} \right.\) thì \(\Delta > 0\) nên phương trình \({x^2} + (3 - m)x - 2m + 3 = 0\) có hai nghiệm.

Do đó ta có tập nghiệm của \({x^2} + (3 - m)x - 2m + 3 > 0\) là

\(S = \left( { - \infty ;\frac{{ - 3 + m - \sqrt {{m^2} + 2m - 3} }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{ - 3 + m + \sqrt {{m^2} + 2m - 3} }}{2}; + \infty } \right){\rm{. }}\)

Bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x \le - 4\) khi và chi khi \(( - \infty ; - 4] \subset \left( { - \infty ;\frac{{ - 3 + m - \sqrt {{m^2} + 2m - 3} }}{2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow - 4 < \frac{{ - 3 + m - \sqrt {{m^2} + 2m - 3} }}{2} \Leftrightarrow \sqrt {{m^2} + 2m - 3} < m + 5\)\(\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m > - 5 \vee m > 1\\m > - 5m > - \frac{7}{2}\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l} - \frac{7}{2} < m < - 3\\m > 1\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{m^2} + 2m - 3 > 0\\m + 5 > 0\\{m^2} + 2m - 3 < {(11 - m)^2}\end{array}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Kết hợp các trường hợp ta được \(m > - \frac{7}{2}\) là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Tìm \(m\) để \({x^2} - mx + m + 3 > 0 , với mọi x thuộc R