Tìm \(m\) để tam thức bậc hai f(x) = x^ 2 + 2 ( m + 1 ) x + 4m

11/22

Tìm \(m\) để tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 4m\) âm trên \(\left[ {0;1} \right]\).

\(m < - \frac{1}{2}\).

\( - \frac{1}{2} < m < \frac{1}{6}\).

\(m > - \frac{1}{2}\).

\(m > 0\).

Giải thích

Ta có \(\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4m = {\left( {m - 1} \right)^2}\). Do đó \[f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = - 2m\end{array} \right.\].

TH1: \( - 2 < - 2m \Leftrightarrow m < 1\), ta có \(f\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( { - 2; - 2m} \right)\).

\(f\left( x \right) < 0,\forall x \in \left[ {0;1} \right] \Leftrightarrow - 2 < 0 < 1 < - 2m \Leftrightarrow m < \frac{{ - 1}}{2}\).

Suy ra: \(m < \frac{{ - 1}}{2}\)

TH2: \( - 2 > - 2m \Leftrightarrow m > 1\), ta có \(f\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( { - 2m; - 2} \right)\).

Suy ra không có giá trị \(m\) thỏa đề.

Vậy \(m < \frac{{ - 1}}{2}\) thỏa yêu cầu bài toán.