Tìm m để phương trình: x^2−2mx−4m−5(1) (m là tham số) có hai nghiệm x1;x2thoả mãn
với mọi m.
Suy ra phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\)
Theo viete ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}{x_2} + {x_1} = 2m\left( 2 \right)\\{x_1}.{x_2} = - 4m - 5\left( 3 \right)\end{array} \right.\)
Theo đề, ta có: \[\frac{1}{2}x_1^2 - \left( {m + 1} \right){x_1} + {x_2} - \frac{7}{2}m = \frac{7}{2}\]
\[x_1^2 - 2\left( {m + 1} \right){x_1} + 2{x_2} - 7m - 7 = 0\]
\[x_1^2 - 2m{x_1} - 4m - 5 + 2\left( {{x_2} - {x_1}} \right) - 3m - 2 = 0\]
\[2\left( {{x_2} - {x_1}} \right) - 3m - 2 = 0\] ( vì \[x_1^2 - 2m{x_1} - 4m - 5 = 0\] do \({x_1}\) là nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\) ) hay \[{x_2} - {x_1} = \frac{3}{2}m + 1\left( 4 \right)\]
Từ \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 4 \right)\), ta có hệ phương trình\(\left\{ \begin{array}{l}{x_2} + {x_1} = 2m\\{x_2} - {x_1} = \frac{3}{2}m + 1\end{array} \right.\)
Giải hệ có nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_2} = \frac{{7m + 2}}{4}\\{x_1} = \frac{{m - 2}}{4}\end{array} \right.\)
Thay vào \(\left( 3 \right)\) ta được: \(\frac{{7m + 2}}{4} \times \frac{{m - 2}}{4} = - 4m - 5\)
Hay \(7{m^2} + 52m + 76 = 0\)
Giải phương trình được \(m = - 2;m = \frac{{ - 38}}{7}\).
Vậy \(m = - 2;m = \frac{{ - 38}}{7}\) thì phương trình\(\,\left( 1 \right)\) có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\)thoả mãn\[\frac{1}{2}x_1^2 - \left( {m + 1} \right){x_1} + {x_2} - \frac{7}{2}m = \frac{7}{2}\].