Tìm m để phương trình x^2 + 5x + 3m − 1 = 0 ( x là ẩn số, m là tham số) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn (x1)^3 − (x2)^3 + 3x1x2 = 75

\[\Delta  = {5^2} - 4.1.\left( {3m - 1} \right) = 29 - 12m\]

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \[ \Rightarrow \Delta  \ge 0 \Rightarrow m \le \frac{{29}}{{12}}\]

Áp dụng hệ thức Viète \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 5\\{x_1}{x_2} = 3m - 1\end{array} \right.\)

Ta có: \(x_1^3 - x_2^3 + 3{x_1}{x_2} = 75\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - {x_1}{x_2}} \right) + 3{x_1}{x_2} = 75\)

\( \Rightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {25 - {x_1}{x_2}} \right) + 3{x_1}{x_2} = 75\)

\( \Leftrightarrow 25\left( {{x_1} - {x_2}} \right) - \left( {{x_1} - {x_2}} \right){x_1}{x_2} + 3{x_1}{x_2} = 75\)

\( \Rightarrow {x_1} - {x_2} = 3\)

Kết hợp \({x_1} + {x_2} =  - 5\) suy ra \({x_1} =  - 1;{x_2} =  - 4\) Thay vào \({x_1}{x_2} = 3m - 1\) suy ra  \(m = \frac{5}{3}\)

Vậy \(m = \frac{5}{3}\) là giá trị cần tìm