Tìm m để phương trình x^2 − 3x + m − 1 = 0 có hai nghiệm x i ; x 2 và thỏa mãn x1 < 1 < x2 .

Hướng dẫn: \({x_1} < 1 < {x_2} \Leftrightarrow {x_1} - 1 < 1 - 1 < {x_2} - 1 \Leftrightarrow {x_1} - 1 < 0 < {x_2} - 1\). Vậy \({x_1} - 1\) và \({x_2} - 1\) trái dấu.

Ta có: \(a = 1;b = - 3;c = m - 1\).

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \({x_1} - 1\) và \({x_2} - 1\) trái dấu khi và chỉ khi Δ>0x1−1x2−1<0⇔9−4 m−1>0   1x1x2−x1+x2+1<0   2

Ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow m < \frac{{13}}{4}\).

Với điều kiện \(m < \frac{{13}}{4}\), phương trình có hai nghiệm phân biệt\({x_1};{x_2} \Rightarrow {x_1} + {x_2} = 3;{x_1}{x_2} = m - 1\).

Ta có: \((2) \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right) - 3 + 1 < 0 \Leftrightarrow \;m < 3\). Kết hợp \(m < 3\) và \(m < \frac{{13}}{4} \Rightarrow \;m < 3\).

Cách khác: Đặt \(t = x - 1 \Rightarrow x = t + 1\), thế t vào phương trình đã cho, ta có:

\({\left( {t + 1} \right)^2} - 3\left( {t + 1} \right) + m - 1 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - t + m - 3 = 0{\rm{ }}\left( * \right)\)

Điều kiện \({x_1} < 1 < {x_2} \Leftrightarrow {x_1} - 1 < 0 < {x_2} - 1\). Khi đó, gọi \({t_1} = {x_1} - 1;{t_2} = {x_2} - 1\) là hai nghiệm phương trình (*).

Vậy \({t_1} < 0 < {t_2} \Leftrightarrow \;m - 3 < 0 \Leftrightarrow \;m < 3\).

Nhận xét: Cách thứ hai, gọi là đặt ẩn phụ; ta không phải tìm điều kiện: \(\Delta > 0\).