Tìm m để phương trình x^4 + (3m+5)x^2 + (m+1)^2 = 0 có bốn

Giả sử 4 nghiệm phân biệt của phương trình là x1,x2,x3,x4.

Đặt x2= y ≥0, ta được phương trình y2-(3m+5)y+(m+1)2=0(1)

Ta phải tìm m sao cho (1) có hai nghiệm dương phân biệt 0 < y1 < y2.

Khi đó thì (1) có bốn nghiệm là:x1=- y2; x2=- y1; x3= y1; x4=  y2 

Theo đầu bài bốn nghiệm lập thành một cấp số cộng, nên x3+x1=2x2 và x4+x2=2x3

Áp dụng định lý Vi-et cho phương trình (1). Ta có hệ:

Δ=3m+52−4m+12>0S=3m+5>0P=m+12>0⇔5m2+22m+21>0m>−53m≠−1⇔m>−75m<−3m>−53m≠−1

⇒m>−75 và m≠−1

Thay  9y1=y2vào định lí Viet y1+y2=3m+5y1.y2=m+12

           

Thay (*) vào hệ trên ta được : y1+9y1=3m+5y1.9y1=m+12⇔y1= 3m + 510     (1) 3y1= m + 1   (2)

Thay (1) vào (2) ta được:

 3.3m + 510= m+ 1⇒9m  + 15 = 10.m+ 1⇒81m2+ 270m + 225 = 100m2+ 200m +100 

 ⇔19m2−70m−125=0⇔m=5m=−2519           

Chọn B