Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: x3 − 6x2 + 3(m + 2)x − m − 6 = 0.

x³ − 6x² + 3(m + 2)x − m − 6 = 0

<=>x³ − 6x² + 3mx + 6x − m − 6 = 0

<=>x³ − 6x² + 6x − 6 = m(1 − 3x) (1)

•TH1: 1 − 3x=0 ⇔x=13

Khi đó, phương trình (*) trở thành −12527=m.0 (vô nghiệm).

•TH2:1 ≠ 3x=0 ⇔x≠13

Khi đó, phương trình (1) trở thành m=x3−6x2+6x−61−3x=fx (*)

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số y=f(x)và đường thẳng y=m.

Ta có: 

f'x=3x2−12x+61−3x+3x3−6x2+6x−61−3x2⇒f'x=−6x3+21x2−12x−121−3x2=0⇒−6x3+21x2−12x−12=0

<=> 2x³ − 7x² + 4x + 4 = 0

<=> (2x + 1)(x − 2)² = 0

⇒x=−12x=2

Ta có BBT:

Dựa vào BBT ta thấy phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m=−174.