Tìm $m$ để phương trình căn bậc hai {{x^2} + mx + 2} = 2x + 1\) có hai nghiệm phân biệt.

20/22

Tìm $m$ để phương trình $\sqrt {{x^2} + mx + 2} = 2x + 1$ có hai nghiệm phân biệt.

Giải thích

. $Pt \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - \frac{1}{2}\\3{x^2} + (4 - m)x - 1 = 0\quad \left( * \right)\end{array} \right.$.

Phương trình đã cho có hai nghiệm $ \Leftrightarrow \left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng $ - \frac{1}{2} \Leftrightarrow $ đồ thị hàm số $y = 3{x^2} + (4 - m)x - 1$ trên $\left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.

Xét hàm số $y = 3{x^2} + (4 - m)x - 1$ trên $\left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)$. Ta có $ - \frac{b}{{2a}} = \frac{{m - 4}}{6}$

+ TH1: Nếu $\frac{{m - 4}}{6} \le - \frac{1}{2} \Leftrightarrow m \le 1$ thì hàm số đồng biến trên $\left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)$ nên $m \le 1$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

+ TH2: Nếu $\frac{{m - 4}}{6} > - \frac{1}{2} \Leftrightarrow m > 1$:

Ta có bảng biến thiên

$Tìm $m$ để phương trình căn bậc hai {{x^2} + mx + 2} = 2x + 1\) có hai nghiệm phân biệt. (ảnh 1)$

Suy ra đồ thị hàm số $y = 3{x^2} + \left( {4 - m} \right)x - 1$ trên $\left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt $ \Leftrightarrow y\left( { - \frac{1}{2}} \right) \ge 0 > y\left( {\frac{{m - 4}}{6}} \right) \Leftrightarrow \frac{{2m - 9}}{4} \ge 0 > \frac{1}{{12}}\left( { - {m^2} + 8m - 28} \right)$ (1)

Vì $ - {m^2} + 8m - 28 = - {(m - 4)^2} - 12 < 0,\forall m$ nên (1) $ \Leftrightarrow 2m - 9 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge \frac{9}{2}$ (thỏa mãn $m > 1$ )

Vậy $m \ge \frac{9}{2}$ là giá trị cần tìm.

Đề kiểm tra Phương trình quy về phương trình bậc hai (có lời giải) - Đề 2

Tìm \(m\) để phương trình căn bậc hai {{x^2} + mx + 2} = 2x + 1\) có hai nghiệm phân biệt.