Tìm m để phương trình ( 2 cos x + 1 ) . ( sin 2x + 2 cos x − m ) = 3 − 4 sin 2x có ba nghiệm phân biệt thuộc [ 0 ; pi ] .

26/26

(0,5 điểm) Tìm $m$ để phương trình $\left( {2\cos x + 1} \right).\left( {\sin 2x + 2\cos x - m} \right) = 3 - 4{\sin ^2}x$ có ba nghiệm phân biệt thuộc $\left[ {0;\pi } \right]$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$\begin{array}{l}\left( {2\cos x + 1} \right).\left( {\sin 2x + 2\cos x - m} \right) = 3 - 4{\sin ^2}x\;\;\left( 1 \right)\\ \Leftrightarrow \left( {2\cos x + 1} \right).\left( {\sin 2x - m + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = - \frac{1}{2}\\\sin 2x = m - 1\;\;\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}$

Phương trình $\cos x = - \frac{1}{2}$ có một nghiệm $x = \frac{{2\pi }}{3}$ thuộc $\left[ {0;\pi } \right]$

Đặt $t = 2x\;,\;x \in \left[ {0;\pi } \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;2\pi } \right]$,

Phương trình $\left( 2 \right)$ trở thành $\sin t = m - 1\;\;\left( 3 \right)$

Phương trình $\left( 1 \right)$ có ba nghiệm phân biệt thuộc $\left[ {0;\pi } \right]$ thì phương trình $\left( 2 \right)$phải có hai nghiệm phân biệt thuộc $\left[ {0;\pi } \right]$ và khác nghiệm $x = \frac{{2\pi }}{3}$

$ \Leftrightarrow $ phương trình $\left( 3 \right)$ có hai nghiệm phân biệt thuộc $\left[ {0;2\pi } \right]$ và khác nghiệm $x = \frac{{4\pi }}{3}$

Vẽ đồ thị hàm số $y = \sin t$ với $t \in \left[ {0;2\pi } \right]$

$Tìm $m$ để phương trình \(\left( {2\cos x + 1} \right).\left( {\sin 2x + (ảnh 1)$

Từ đồ thị ta thấy phương trình $\left( 3 \right)$ có hai nghiệm phân biệt thuộc $\left[ {0;2\pi } \right]$ và khác nghiệm $x = \frac{{4\pi }}{3}$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < m - 1 < 1\\\left\{ \begin{array}{l} - 1 < m - 1 < 0\\m - 1 \ne - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 < m < 2\\\left\{ \begin{array}{l}0 < m < 1\\m \ne 1 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.$.