Tìm m để mọi x ∈ [ − 1 ; 1 ] đều là nghiệm của bất phương trình 3 x^ 2 − 2 ( m + 5 ) x − m^ 2 + 2 m + 8 ≤ 0 .

Ta có: \(3{x^2} - 2\left( {m + 5} \right)x - {m^2} + 2m + 8 \le 0\) (1).

Ta có: \(3{x^2} - 2\left( {m + 5} \right)x - {m^2} + 2m + 8 = 0 \Leftrightarrow x = m + 2\) hoặc \(x = \frac{{4 - m}}{3}\).

* Với \(m + 2 > \frac{{4 - m}}{3} \Leftrightarrow 3m + 6 > 4 - m \Leftrightarrow m >  - \frac{1}{2}\) ta có:

Bất phương trình (1) \( \Leftrightarrow \frac{{4 - m}}{3} \le x \le m + 2\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là \(\left[ {\frac{{4 - m}}{3};m + 2} \right]\).

Suy ra mọi \[x \in \left[ { - 1;1} \right]\] đều là nghiệm của bất phương trình (1)

khi và chỉ khi \[\left[ { - 1;1} \right] \subset \left[ {\frac{{4 - m}}{3};m + 2} \right] \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1 \ge \frac{{4 - m}}{3}}\\{1 \le m + 2}\end{array}} \right.\]\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ge 7}\\{m \ge  - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m \ge 7\).

Kết hợp với điều kiện \(m >  - \frac{1}{2}\) ta có \(m \ge 7\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

* Với \(m + 2 < \frac{{4 - m}}{3} \Leftrightarrow m <  - \frac{1}{2}\) ta có:

Bất phương trình (1) \( \Leftrightarrow m + 2 \le x \le \frac{{4 - m}}{3}\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là \(\left[ {m + 2;\frac{{4 - m}}{3}} \right]\).

Suy ra mọi \[x \in \left[ { - 1;1} \right]\] đều là nghiệm của bất phương trình (1)

khi và chỉ khi \[\left[ { - 1;1} \right] \subset \left[ {m + 2;\frac{{4 - m}}{3}} \right] \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1 \ge m + 2}\\{1 \le \frac{{4 - m}}{3}}\end{array}} \right.\]\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \le  - 3}\\{m \le 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m \le  - 3\).

Kết hợp với điều kiện \(m <  - \frac{1}{2}\) ta có \(m \le  - 3\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

* Với \(m =  - \frac{1}{2}\) ta có bất phương trình (1) \( \Leftrightarrow x = \frac{3}{2} > 1\) nên \(m =  - \frac{1}{2}\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy \(m \in ( - \infty ; - 3] \cup {\rm{[}}7; + \infty )\) là giá trị cần tìm.