Tìm m để khoảng cách tù gốc tọa độ O đến đường thẳng d: y = mx

Đáp án D

Gọi A  và B lần lượt là  giao điểm của đường thẳng d  với Ox và  Oy, 

Khi đó;

 A(m- 1m;0); B(0; - m + 1)OA = m- 1m; OB = | - m + 1|

Gọi H là hình chiếu của O lên đường thẳng (d) thì OH là khoảng cách từ  O đến đường thẳng d.

Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao vào tam giác OAB; đường cao OH ta có: 

 1OH2 = 1OA2 +  1OB2 = OA2+ OB2OA2. OB2⇒ OH =  OA.  OBOA2+ OB2⇒OHmin⇔( OA.  OBOA2+ OB2)min

Ta có:

OA. OBOA2+ OB2 =  m- 1m. -m + 1m-1m2 + (-m+ 1)2= (m-1)2(m-1)2. (1+ m2)= m -11+m2

Áp dụng  bất đẳng thức bunhiacopxki ta có: 

(1.m - 1.1)2≤ (12+ (-1)2) .  (m2 + 12)⇔ (m-1)2≤2. (m2+1)⇔m - 1 ≤2. m2+ 1 

⇒m - 1m2+ 1 ≤2. m2 + 1m2 + 1 = 2 

Vậy OHmin=2 khi m = -1