Tìm m để hệ bất phương trình x-1>0 và x^2-2mx +1 bé hơn bằng 0  có nghiệm.

Ta có x – 1 > 0 ⇔ x > 1

Để hệ bất phương trình có nghiệm

 ⇔Δ'=m2−1≥0x2=m+m2−1>1
 ⇔m≥1m≤−1m2−1>1−m          1

Xét bất phương trình (1)

+) Với m = 1 thì (1) trở thành 0 > 0 (vô lí).

+) Với m > 1 ta có  m2−1≥01−m<0

Suy ra bất phương trình luôn đúng.

+) Với m ≤ –1 hai vế không âm

Suy ra m² – 1 ≥ (1 – m)²

⇔ m² – 1 ≥ m² – 2m + 1

⇔ m ≥ 1 (không thỏa mãnm ≤ –1)

Vậy m > 1 thì hệ bất phương trình đã cho có nghiệm.