Tìm m để hàm số sau liên tục trên toàn bộ tập số thực R

Phương pháp giải

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x)\) tìm m.

Giải chi tiết

Dễ thấy hàm số liên tục trên các khoảng \(( - \infty , - 1)\) và \(( - 1, + \infty )\)

Hàm số liên tục trên toàn bộ tập số thực\(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x=-1.

Ta xét tính liên tục của hàm số tại x=-1. Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{\sqrt {x + 5} - 2}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{x + 5 - 4}}{{(x + 1)\left( {\sqrt {x + 5} + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{1}{{\sqrt {x + 5} + 2}} = \frac{1}{4}.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {m \cdot {4^{ - x}} + 1} \right) = 4m + 1,\qquad f( - 1) = 4m + 1.\)

Suy ra hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\)khi và chỉ khi \(\frac{1}{4} = 4m + 1 \Leftrightarrow m = - \frac{3}{{16}}.\)