Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x^2 + m/x + m trên (0 ; dương vô cùng) bằng 176

Phương pháp giải Vẽ bảng biến thiên của hàm số cho từng trường hợp của m

Giải chi tiết

Khi đó \(f(x) = {x^2}\) không có giá trị nhỏ nhất trên \((0; + \infty )\).

Trường hợp 2: \(m < 0\).

Ta có:

                \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{m}{x} = - \infty \; \Rightarrow \;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{x^2} + \frac{m}{x} + m} \right) = - \infty .\]

Do đó hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên \((0; + \infty )\).

Trường hợp 3: \(m > 0\).

Ta có

                                               \[f'(x) = 2x - \frac{m}{{{x^2}}}.\]

Cho \(f'(x) = 0\):

                 \[2{x^3} - m = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{m}{2}}}.\]

Tại đây hàm số đạt giá trị nhỏ nhất:

                      \[{f_{\min }} = {\left( {\sqrt[3]{{\frac{m}{2}}}} \right)^2} + \frac{m}{{\sqrt[3]{{\frac{m}{2}}}}} + m = \sqrt[3]{{\frac{{{m^2}}}{4}}} + \sqrt[3]{{2{m^2}}} + m = m + \frac{3}{2}\sqrt[3]{{2{m^2}}}.\]

Theo đề bài:

                                     \[m + \frac{3}{2}\sqrt[3]{{2{m^2}}} = 176.\]

Giải phương trình, ta được:

                                                               \[m = 128.\]

Vậy giá trị cần tìm là 128.