Tìm m để đồ thị hàm số trên là một đường thẳng song song với trục hoành.

Hướng dẫn giải

a) Để đường thẳng y=3–2mx+m+4. song song với trục hoành thì \(3 - 2m = 0\) và \(m + 4 \ne 0.\)

Do đó \(m = \frac{3}{2}\) và \(m \ne - 4.\)

Vậy \(m = \frac{3}{2}\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

b) Gọi \(I\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cố định mà đường thẳng y=3–2mx+m+4 luôn đi qua với mọi giá trị của \[m.\]

Khi đó tọa độ điểm \(I\) thỏa mãn hàm số y=3–2mx+m+4. với mọi giá trị của \[m.\]

Tức là, y0=3–2mx0+m+4 đúng với mọi \(m\)

y0=3x0–2mx0+m+4 đúng với mọi \(m\)

2x0−1m=3x0−y0+4 đúng với mọi \(m\)

Điều này xảy ra khi và chỉ khi \[2{x_0} - 1 = 0\] và \[3{x_0} - {y_0} + 4 = 0\]

Tức là \({x_0} = \frac{1}{2}\) và \({y_0} = 3{x_0} + 4 = 3 \cdot \frac{1}{2} + 4 = \frac{{11}}{2}.\)

Vậy điểm cố định mà đồ thị hàm số trên luôn đi qua với mọi giá trị của \[m\] là \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{{11}}{2}} \right).\)

 

c) Để hai đường thẳng y=3–2mx+m+4 và \[y = 2x - 2{m^2} + 2m + 4\] cắt nhau thì \(3 - 2m \ne 2,\) do đó \(m \ne \frac{1}{2}.\)

Hoành độ giao điểm \(M\) của hai đường thẳng y=3–2mx+m+4. và \[y = 2x - 2{m^2} + 2m + 4\] là nghiệm của phương trình:

3–2mxM+m+4=2xM−2m2+2m+4

3–2m−2xM+m+4+2m2−2m−4=0

1–2mxM+2m2−m=0 *

Vì \(m \ne \frac{1}{2}\) nên ta có \(1 - 2m \ne 0,\) khi đó từ \(\left( * \right)\) ta có:

\[{x_M} = - \frac{{2{m^2} - m}}{{1--2m}} = \frac{{m\left( {2m - 1} \right)}}{{2m - 1}} = m.\]

Thay \[{x_M} = m\] vào hàm số \[y = 2x - 2{m^2} + 2m + 4,\] ta được: \[{y_M} = 2m - 2{m^2} + 2m + 4 = - 2{m^2} + 4m + 4\]

Do đó \({y_M} = - 2x_M^2 + 4{x_M} + 4.\)

Vậy giao điểm \(M\) của hai đồ thị đã cho là một điểm nằm trên đồ thị hàm số \(y = - 2{x^2} + 4x + 4.\)