Tìm \(m\) để biểu thức sau luôn dương f(x) = ( m ^ 2 + 2 ) x ^ 2 - 2 ( m + 1 ) x + 1

Vi \({m^2} + 2 > 0\) nên yêu câu bài toán \( \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 2} \right){x^2} - 2(m + 1)x + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\Delta ^\prime } < 0}\\{a > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(m + 1)}^2} - \left( {{m^2} + 2} \right) < 0}\\{{m^2} + 2 > 0}\end{array} \Leftrightarrow {{(m + 1)}^2} - \left( {{m^2} + 2} \right) < 0} \right.} \right.\\ \Leftrightarrow 2m < 1 \Leftrightarrow m < \frac{1}{2}{\rm{.}}\end{array}\)

Vậy \(m < \frac{1}{2}\) thỏa mãn