Tìm \(m\) để bất phương trình \({x^2} + 2mx + m - 2 < 0\) nghiệm đúng với mọi \(x thuộc (1;2)\).

17/22

Tìm \(m\) để bất phương trình \({x^2} + 2mx + m - 2 < 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \in (1;2)\).

Giải thích

Tam thức bậc hai \(f(x) = {x^2} + 2mx + m - 2\) có:

\({\Delta ^\prime } = {m^2} - m + 2 = {\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} \ge \frac{7}{4} > 0\) với mọi \(m \in \mathbb{R}\).

Do đó \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) với mọi \(m \in \mathbb{R}\).

Để \(f(x) < 0\) với mọi \(x \in (1;2)\) thì \({x_1} \le 1 < 2 \le {x_2}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f(1) \le 0}\\{f(2) \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + 2m + m - 2 \le 0}\\{4 + 4m + m - 2 \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3m - 1 \le 0}\\{5m + 2 \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \le \frac{1}{3}}\\{m \le \frac{{ - 2}}{5}}\end{array} \Leftrightarrow m \le \frac{{ - 2}}{5}.} \right.} \right.} \right.} \right.\)

Vậy \(m \le \frac{{ - 2}}{5}\) thì \({x^2} + 2mx + m - 2 < 0\) với mọi \(x \in (1;2)\).