Tìm m để bất phương trình x + 2 căn bậc hai của [(2 − x)(2x + 2)] > m + 4(căn bậc hai của (2 − x) + căn bậc hai của (2x + 2)) có nghiệm.

80/100

Tìm $m$ để bất phương trình $x + 2\sqrt {\left( {2 - x} \right)\left( {2x + 2} \right)} > m + 4\left( {\sqrt {2 - x} + \sqrt {2x + 2} } \right)$ có nghiệm?

$m < - 8$.

$m < - 1 - 4\sqrt 3 $.

$m < - 7$.

$ - 8 < m < - 7$.

Giải thích

Phương pháp giải:

$t = \sqrt{2 - x} + \sqrt{2 x + 2}$

Giải chi tiết:

Điều kiện: $x \in \left[ { - 1;2} \right]$.

Xét hàm số $g\left( x \right) = \sqrt {2 - x} + \sqrt {2x + 2} $ trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$.

Có $g'\left( x \right) = - \frac{1}{{2\sqrt {2 - x} }} + \frac{1}{{\sqrt {2x + 2} }}$.

$g\left( 1 \right) = 3$ , $g\left( 2 \right) = \sqrt 6 $.

Suy ra $\mathop {max}\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} g\left( x \right) = 3$, $\mathop {min}\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} g\left( x \right) = \sqrt 3 $.

Đặt $t = \sqrt {2 - x} + \sqrt {2x + 2} $, $t \in \left[ {\sqrt 3 ;3} \right] \Rightarrow {t^2} = x + 4 + 2\sqrt {\left( {2 - x} \right)\left( {2x + 2} \right)} $.

Bất phương trình đã cho trở thành: ${t^2} - 4 > m + 4t \Leftrightarrow {t^2} - 4t - 4 > m$.

Xét hàm số $f\left( t \right) = {t^2} - 4t - 4$ trên đoạn $\left[ {\sqrt 3 ;3} \right]$.

Có $f'\left( t \right) = 2t - 4$, $f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 2$.

$f\left( {\sqrt 3 } \right) = - 4\sqrt 3 - 1$, $f\left( 2 \right) = - 8$, $f\left( 3 \right) = - 7$.

Suy ra $\mathop {max}\limits_{\left[ {\sqrt 3 ;3} \right]} f\left( t \right) = - 7$.

Để bất phương trình đã cho có nghiệm thì $m < \mathop {max}\limits_{\left[ {\sqrt 3 ;3} \right]} f\left( t \right)$ hay $m < - 7$.

Vậy $m < - 7$.