Tìm $m$ để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi $x$: $m{x^2} + (m - 1)x + m - 1 < 0$

21/22

Giải thích

Đặt $f(x) = m{x^2} + (m - 1)x + m - 1$ với $a = m,{b^\prime } = m - 1,c = m - 1$.

Theo giả thiết: $f(x) = m{x^2} + (m - 1)x + m - 1 < 0,\forall x \in \mathbb{R}\left( * \right)$.

Trường hợp 1: $a = m = 0$.

Thay vào $(*): - x - 1 < 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow x > - 1,\forall x \in \mathbb{R}$ (sai).

Suy ra $m = 0$ không thỏa mãn.

Trường hợp 2: $a = m \ne 0$.

Ta có: $(*) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a < 0}\\{\Delta < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 0}\\{{{(m - 1)}^2} - 4m(m - 1) < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 0}\\{ - 3{m^2} + 2m + 1 < 0}\end{array}} \right.} \right.} \right.$

Xét $g(m) = - 3{m^2} + 2m + 1;g(m) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 1}\\{m = - \frac{1}{3}}\end{array}} \right.$.

Bảng xét dấu $g(m)$:

$Tìm $m$ để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi $x$: $m{x^2} + (m - 1)x + m - 1 < 0$ (ảnh 1)$

Ta có: $g(m) < 0 \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right) \cup (1; + \infty )$. Vậy $(1) \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right)$.

Kết hợp hai trường hợp đã xét, ta thu được $m \in \left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right)$ thỏa mãn đề bài.

Đề kiểm tra Dấu tam thức bậc hai (có lời giải) - Đề 2

Tìm \(m\) để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi \(x\): \(m{x^2} + (m - 1)x + m - 1 < 0\)