Tìm m để bất phương trình m (9^x) - (2m + 1)(6^x) + m(4^x)lớn hơn hoặc bằng 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc (0;1)

11/35

Tìm \(m\) để bất phương trình \[m \cdot {9^x} - \left( {2m + 1} \right){6^x} + m \cdot {4^x} \le 0\] nghiệm đúng với mọi \[x \in \left( {0;1} \right)\].

\[0 \le m \le 6\].

\[m \le 6\].

\[m \ge 6\].

\[m \le 0\].

Giải thích

Lời giải

Ta có \[m \cdot {9^x} - \left( {2m + 1} \right){6^x} + m \cdot {4^x} \le 0\]\[ \Leftrightarrow m \cdot {\left( {\frac{9}{4}} \right)^x} - \left( {2m + 1} \right) \cdot {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} + m \le 0\].

Đặt \[t = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x}\]. Vì \[x \in \left( {0;1} \right)\] nên \[1 < t < \frac{3}{2}\].

Khi đó bất phương trình trở thành \[m \cdot {t^2} - \left( {2m + 1} \right)t + m \le 0\]\[ \Leftrightarrow m \le \frac{t}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}}\].

Đặt \[f\left( t \right) = \frac{t}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}}\]. Ta có \[f'\left( t \right) = \frac{{ - t - 1}}{{{{\left( {t - 1} \right)}^3}}}\], \[f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = - 1\].

Bảng biến thiên:

Tìm m để bất phương trình m (9^x) - (2m + 1)(6^x) + m(4^x)lớn hơn hoặc bằng 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc (0;1) (ảnh 1)

Dựa vào bảng biến thiên ta có \[m \le \mathop {\lim }\limits_{t \to \frac{3}{2}} f\left( t \right) = 6\]. Chọn B.