Tìm \(m\) để bất phương trình \( - 3{x^2} - 2mx + m - 2 bé hơn bằng 0\) đúng với mọi x thuộc R

20/22

Tìm \(m\) để bất phương trình \( - 3{x^2} - 2mx + m - 2 \le 0\) đúng \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Giải thích

Để bất phương trình \( - 3{x^2} - 2mx + m - 2 \le 0\) đúng \(\forall x \in \mathbb{R}\) thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a < 0}\\{\Delta \le 0.}\end{array}} \right.\) Ta có: \(a = - 3 < 0\) và \(\Delta = {( - 2m)^2} - 4( - 3)(m - 2) \le 0 \Leftrightarrow 4{m^2} + 12m - 24 \le 0\).

Tam thức \(4{m^2} + 12m - 24\) có hai nghiệm \(m = \frac{{ - 3 - \sqrt {33} }}{2}\) và \(m = \frac{{ - 3 + \sqrt {33} }}{2}\) và hệ số của \({m^2}\) bằng 4 lớn hơn 0 nên \(4{m^2} + 12m - 24 \le 0\) khi \(\frac{{ - 3 - \sqrt {33} }}{2} \le m \le \frac{{ - 3 + \sqrt {33} }}{2}{\rm{. }}\)

Vậy để bất phương trình \( - 3{x^2} - 2mx + m - 2 \le 0\) đúng \(\forall x \in \mathbb{R}\) thì \(m \in \left[ {\frac{{ - 3 - \sqrt {33} }}{2};\frac{{ - 3 + \sqrt {33} }}{2}} \right]{\rm{. }}\)