Tìm m để bất phương trình 3 s i n 2 x + c o s 2 x s i n 2 x + 4 c o s 2 x + 1 ≤ m + 1 đúng với mọi x ∈ R

8/10

Tìm m để bất phương trình\[\frac{{{\rm{3sin2x + cos2x}}}}{{{\rm{sin2x + 4co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x + 1}}}} \le {\rm{m + 1}}\]đúng với mọi\[{\rm{x}} \in \mathbb{R}\]

\[{\rm{m}} \ge \frac{{3\sqrt 5 }}{4}\]

\[{\rm{m}} \ge \frac{{3\sqrt 5 + 9}}{4}\]

\[{\rm{m}} \ge \frac{{\sqrt {65} - 9}}{4}\]

\[{\rm{m}} \ge \frac{{3\sqrt 5 - 9}}{4}\]

Giải thích

Đặt\[{\rm{y = }}\frac{{{\rm{3sin2x + cos2x}}}}{{{\rm{sin2x + 4co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{3sin2x + cos2x}}}}{{{\rm{sin2x + 2cos2x + 3}}}}\]

(Do\[{\rm{sin2x + 2cos2x + 3 > 0,}}\forall {\rm{x}} \in \mathbb{R} \Rightarrow \]hàm số xác định trên\(\mathbb{R}\))

\[ \Leftrightarrow \left( {{\rm{3}} - {\rm{y}}} \right){\rm{sin}}\,{\rm{2x + }}\left( {{\rm{1}} - {\rm{2y}}} \right){\rm{cos2x = 3y}}\]

Suy ra\[\left[ {{{\left( {{\rm{3}} - {\rm{y}}} \right)}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\left( {{\rm{1}} - {\rm{2y}}} \right)}^{\rm{2}}}} \right]\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{2x + co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{2x}}} \right) \ge {\rm{9}}{{\rm{y}}^{\rm{2}}} \Leftrightarrow {\rm{2}}{{\rm{y}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 5y}} - 5 \le 0\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{ - 5 - \sqrt {65} }}{4} \le {\rm{y}} \le \frac{{ - 5 + \sqrt {65} }}{4}\]

\[ \Rightarrow \max {\rm{y = }}\frac{{ - 5 + \sqrt {65} }}{4}\]. Yêu cầu bài toán \[ \Leftrightarrow \frac{{ - 5 + \sqrt {65} }}{4} \le {\rm{m + 1}} \Leftrightarrow {\rm{m}} \ge \frac{{\sqrt {65} - 9}}{4}\]

Đáp án cần chọn là: C