Tìm \(m\) để bất phương trình \(2{x^2} - (2m + 1)x + {m^2} - 2m + 2 bé hơn bằng 0

20/22

Tìm \(m\) để bất phương trình \(2{x^2} - (2m + 1)x + {m^2} - 2m + 2 \le 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \left[ {\frac{1}{2};2} \right]\)

Giải thích

Đặt \(f(x) = 2{x^2} - (2m + 1)x + {m^2} - 2m + 2\), có \(\Delta = - 4{m^2} + 20m - 15\)

- \(\Delta \le 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le \frac{{5 - \sqrt {10} }}{2}}\\{m \ge \frac{{5 + \sqrt {10} }}{2}}\end{array}} \right.\), suy ra \(f(x) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\) nên trường hợp này không thỏa yêu cầu bài toán.

- \(\Delta > 0 \Leftrightarrow m \in \left( {\frac{{5 - \sqrt {10} }}{2};\frac{{5 + \sqrt {10} }}{2}} \right)\), khi đó \(f(x)\) có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{2m + 1 - \sqrt \Delta }}{4},{x_2} = \frac{{2m + 1 + \sqrt \Delta }}{4}\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) Và \(f(x) \le 0 \Leftrightarrow x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\).

Do đó yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} \le \frac{1}{2}\\{x_2} \ge 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m - 1 \le 2\sqrt \Delta \\7 - 2m \le \sqrt \Delta \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {2m - 1} \right)^2} \le 4\Delta \\{\left( {7 - 2m} \right)^2} \le \Delta \\\frac{1}{2} \le m \le \frac{7}{2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}20{m^2} - 84m + 61 \le 0\\{m^2} - 6m + 8 \le 0\\\frac{1}{2} \le m \le \frac{7}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 \le m \le \frac{{21 + 2\sqrt {34} }}{{10}}\)

Vậy \(2 \le m \le \frac{{21 + 2\sqrt {34} }}{{10}}\) là những giá trị cần tìm.