Tìm m để A, K, D thẳng hàng.

10/20

Cho \(\Delta ABC,E\) là trung điểm BC, I là trung điểm của AB. Gọi D, I, J, K lần lượt là các điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {BE} = 2\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {AJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {JC} ,\overrightarrow {IK} = m\overrightarrow {IJ} \). Tìm m để A, K, D thẳng hàng.

\(m = \frac{5}{6}\).

\(m = \frac{1}{3}\).

\(m = \frac{1}{2}\).

\(m = \frac{2}{5}\).

Giải thích

Đáp án đúng là: B

Ta có A, K, D thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} = n\overrightarrow {AK} = n\left( {\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IK} } \right)\) (1)

Ta có \(\overrightarrow {BE} = 2\overrightarrow {BD} = 2\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} } \right) = 2\overrightarrow {BA} + 2\overrightarrow {AD} \).

Suy ra \(2\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BE} - 2\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AE} - 2\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AE} \)

\( = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)

\( = 3\overrightarrow {AI} + \frac{3}{2}\overrightarrow {AJ} = 3\overrightarrow {AI} + \frac{3}{2}\left( {\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IJ} } \right) = \frac{9}{2}\overrightarrow {AI} + \frac{3}{2}\overrightarrow {IJ} \).

Mà \(\overrightarrow {IK} = m\overrightarrow {IJ} \) nên \(2\overrightarrow {AD} = \frac{9}{2}\overrightarrow {AI} + \frac{3}{{2m}}\overrightarrow {IK} \Rightarrow \overrightarrow {AD} = \frac{9}{4}\overrightarrow {AI} + \frac{3}{{4m}}\overrightarrow {IK} \) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \frac{9}{4} = \frac{3}{{4m}} \Leftrightarrow m = \frac{1}{3}\).