Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, biết đáy lớn AD = 6, đáy nhỏ BC = 3. Gọi E, F lần lượt lấy trên SA và SD sao cho SE = y ⋅ SA, SF = y ⋅ SD. K là giao điểm của các đường thẳng A (ảnh 1)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{E \in SA \subset \left( {SAB} \right)}\\{E \in \left( {CDE} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow E \in \left( {CDE} \right) \cap \left( {SAB} \right)\).

\(AB \cap CD = K \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{K \in AB \subset \left( {SAB} \right)}\\{K \in CD \subset \left( {CDE} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow K \in \left( {CDE} \right) \cap \left( {SAB} \right)\).

Nên \(KE = \left( {CDE} \right) \cap \left( {SAB} \right)\).

Lại có: \(SB \subset \left( {SAB} \right),SB \cap \left( {CDE} \right) = M \Rightarrow M = SB \cap KE\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{K \in EM \subset \left( {EFM} \right)}\\{K \in CD \subset \left( {SCD} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow K \in \left( {EFM} \right) \cap \left( {SCD} \right)\) và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{F \in \left( {EFM} \right)}\\{F \in SD \subset \left( {SCD} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow F \in \left( {EFM} \right) \cap \left( {SCD} \right)\).

Nên \(KF = \left( {EFM} \right) \cap \left( {SCD} \right)\).

Lại có: \(SC \subset \left( {SCD} \right)\), \(SC \cap \left( {EFM} \right) = N \Rightarrow N = SC \cap KF \Rightarrow \exists \left( {EFNM} \right)\).

Theo đề bài: \(SE = y \cdot SA\), \(SF = y \cdot SD\), suy ra \[\frac{{SE}}{{SA}} = \frac{{SF}}{{SD}} = \frac{{EF}}{{AD}} = \frac{y}{1} \Rightarrow EF{\rm{//}}AD{\rm{//}}BC \Rightarrow \exists \left( {EFCB} \right)\].

Từ đó: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {EFCB} \right) \cap \left( {EFNM} \right) = EF\\\left( {EFNM} \right) \cap \left( {SBC} \right) = MN\\\left( {SBC} \right) \cap \left( {EFCB} \right) = BC\end{array} \right. \Rightarrow EF{\rm{//}}MN{\rm{//}}BC \Rightarrow \frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{MN}}{{\frac{1}{2}AD}}\,\,\left( 1 \right)\).

$\{\begin{cases} B C // A D \\ B C = \frac{1}{2} A D \\ Δ K B C ∽ Δ K A D \end{cases} \Rightarrow \frac{K A}{K B} = 2$ .

Kẻ \(BL{\rm{//}}AS\).

Nên $△ K B L ∽ △ K A E$ , $△ M B L ∽ △ M S E$ :

\(\frac{{KA}}{{KB}} = \frac{{AE}}{{BL}},\quad \frac{{MB}}{{MS}} = \frac{{BL}}{{SE}} \Rightarrow \frac{{KA}}{{KB}} \cdot \frac{{MB}}{{MS}} = \frac{{AE}}{{SE}} \Rightarrow 2\frac{{MB}}{{MS}} = \frac{{AE}}{{SE}} = \frac{{SA - SE}}{{SE}} = \frac{{1 - y}}{y}\).

Nên \(\frac{{MB}}{{MS}} = \frac{{1 - y}}{{2y}} \Rightarrow \frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{2y}}{{1 + y}}\quad \left( 2 \right)\).

Kết hợp với \(\left( 1 \right)\) ta có: \(\frac{{MN}}{{\frac{1}{2}AD}} = \frac{{2y}}{{1 + y}} \Rightarrow \frac{{MN}}{{EF}} = \frac{1}{{1 + y}}\).

Mặt khác: \( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = \frac{1}{2}}&{\left( {{\rm{th/m\~a n}}} \right)}\\{y = - \frac{5}{2}}&{\left( {{\rm{loai}}} \right)}\end{array}} \right.\).

Vậy \(y = \frac{1}{2} = 0,5\).

Đáp án: \(0,5\).

Tìm lim khi n → dương vô cùng (7n^2 + 5n + 1954)/(n^2 + 1).