Tìm khoảng cách từ B đến O lúc đó.

Lời giải

Gọi \({d_1},{d_2}\) lần lượt là khoảng cách các vật A và B đến O lúc đầu (\(t = 0\)).

Đồng thời \[d = AB\]. Gọi \(t'\) là thời điểm mà \({d_{\min }}\). Khi đó A ở \(A'\) và B ở \(B'\) như hình vẽ.

Kí hiệu góc \(\widehat {B'A'O} = \beta ,\widehat {A'B'O} = \gamma \).

Áp dụng định lý sin trong tam giác \(\Delta A'B'O\) ta có:

\(\frac{d}{{\sin 30^\circ }} = \frac{{OA'}}{{\sin \gamma }} = \frac{{OB'}}{{\sin \beta }} \Leftrightarrow 2d = \frac{{{d_1} - AA'}}{{\sin \gamma }} = \frac{{{d_2} - BB'}}{{\sin \beta }} \Leftrightarrow 2d = \frac{{{d_1} - {V_A}t}}{{\sin \gamma }} = \frac{{{d_2} - {V_B}t}}{{\sin \beta }}\,\,\left( * \right)\).

Do \({V_B} = \frac{{{V_A}}}{{\sqrt 3 }}\) và áp dụng tính chất \(\frac{A}{B} = \frac{C}{D} = \frac{{C - A}}{{D - B}}\), ta có:

\(\left( * \right) \Leftrightarrow 2d = \frac{{\sqrt 3 {d_2} - {d_1}}}{{\sqrt 3 \sin \beta  - \sin \gamma }}\) mà \(\sin \beta  = \sin \left( {180^\circ  - \beta } \right) = \sin \left( {30^\circ  + \gamma } \right)\).

Do đó ta có \(d = \frac{{\sqrt 3 {d_2} - {d_1}}}{{2\left[ {\sqrt 3 \sin \left( {30^\circ  + \gamma } \right) - \sin \gamma } \right]}} = \frac{{\sqrt 3 {d_2} - {d_1}}}{{\sqrt 3 \cos \gamma  + \sin \gamma }}\).

Xét \(f\left( \gamma  \right) = \sqrt 3 \cos \gamma  + \sin \gamma \). Ta có \({d_{\min }} \Leftrightarrow f{\left( \gamma  \right)_{\max }}\).

Cách 1. Khảo sát hàm \(f\left( \gamma  \right)\).

Cách 2. Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có:

\(\left| {\sqrt 3 \cos \gamma  + \sin \gamma } \right| \le \sqrt {3 + 1} \sqrt {{{\cos }^2}\gamma  + {{\sin }^2}\gamma }  = 2 \Rightarrow  - 2 \le f\left( \gamma  \right) \le 2 \Rightarrow \max f\left( \gamma  \right) = 2\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{{\sin \gamma }}{{\cos \gamma }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \tan \gamma  = \tan {\rm{30}}^\circ  \Leftrightarrow \gamma  = 30^\circ \) và khi đó \[\beta  = 120^\circ \].

Khi đó ta có \(\frac{d}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\,{\rm{30}}^\circ }} = \frac{{{{d'}_1}}}{{\sin \,30^\circ }} = \frac{{{{d'}_2}}}{{\sin \,120^\circ }} \Rightarrow {d'_2} = \frac{{\sin \,120^\circ }}{{\sin \,30^\circ }}{d'_1} = \sqrt 3 {d'_1} = 90\,\,\left( {\rm{m}} \right)\). Chọn C.