Tìm khoảng cách thực tế từ vị trí B đến vị trí C (0;2;0), nơi đáp xuống của tàu vũ trụ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của nghìn kilômét).
33/35
Trong không gian Oxyz, đơn vị trên mỗi trục là \[2\,000\] km, người ta mô phỏng bề mặt Hỏa tinh dưới dạng mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 2z = 0\); một robot do thám được gửi đến bởi các nhà khoa học từ Trái Đất đang ở vị trí \[A\left( {2\,;\,\,2\,;\,\,0} \right)\]. Người ta cần đặt một thiết bị nhận tín hiệu từ robot ở vị trí B thuộc bề mặt sao Hỏa sao cho B có hoành độ dương và tam giác \[OAB\] đều. Tìm khoảng cách thực tế từ vị trí B đến vị trí \[C\left( {0\,;\,\,2\,;\,\,0} \right)\], nơi đáp xuống của tàu vũ trụ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của nghìn kilômét).
Lời giải
Gọi \[B\left( {x\,;y\,;z} \right)\] thuộc \(\left( S \right)\) với \[x > 0\] và \[H\] trung điểm \[OA \Rightarrow H\left( {1\,;\,\,1\,;\,\,0} \right)\].
Gọi \[\left( P \right)\] là mặt phẳng trung trực đoạn \[OA\], do đó \[\left( P \right)\] đi qua trung điểm \[H\left( {1\,;\,\,1\,;\,\,0} \right)\] của đoạn \[OA\] và nhận \[\overrightarrow {OA} = \left( {2\,;\,\,2\,;\,\,0} \right)\] làm vectơ pháp tuyến. Suy ra \[\left( P \right)\]:\[2\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 1} \right) = 0\]\[ \Leftrightarrow x + y - 2 = 0\].
Theo giả thiết: \[\left\{ \begin{array}{l}OB = AB\\OB = OA\\B \in \left( S \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B \in \left( P \right)\\O{B^2} = O{A^2}\\B \in \left( S \right)\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y - 2 = 0\\{x^2} + {y^2} + {z^2} = 8\,\\{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 2z = 0\,\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\{x^2} + {y^2} + {z^2} = 8\,\\2x + 2y + 2z = 8\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\{x^2} + {y^2} = 4\,\\z = 2\,\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\{\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = 4\,\\z = 2\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\xy = 0\,\\z = 2\,\end{array} \right.\].
Ta tìm được \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\,\\z = 2\,\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {2\,;\,\,0\,;\,\,2} \right)\], (do \[x > 0\]). Do đó \[BC = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {2^2}} = 2\sqrt 3 \].
Khoảng cách thực tế cần tìm là \[2\sqrt 3 \times 2 \approx 6,93\] (nghìn km).
Đáp án: 6,93.