Tìm hệ số của x^4 trong khai triển P(x) = {(1 - x - 3{x^3}^n} với n là số tự nhiên thỏa mãn

Giải chi tiết:

Ta có:

\[\left( \begin{array}{c}n\\2\end{array} \right) + 6n + 5 = A_{n + 1}^2 \Leftrightarrow \frac{{n(n - 1)}}{2} + 6n + 5 = (n + 1)n.\]

Giải phương trình trên, ta được:

                                                                               \[n = 10.\]

Khi đó:

                                                           \[P(x) = {(1 - x - 3{x^3})^{10}}.\]

Theo khai triển nhị thức Newton, số hạng tổng quát có dạng:

                                    \[T = C_{10}^kC_k^\ell {( - x)^{k - \ell }}{( - 3{x^3})^\ell },\]

trong đó:

               \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 \le \ell \le k \le 10,}\\{(k - \ell ) + 3\ell = 4.}\end{array}} \right.\]

Từ đó:

                                          \[k + 2\ell = 4 \Rightarrow (k,\ell ) \in \{ (4,0),(2,1)\} .\]

Hệ số của \({x^4}\) là:

                                  \[C_{10}^4C_4^0 + C_{10}^2C_2^1 \cdot 3 = 210 + 270 = 480.\]

Vậy hệ số của \({x^4}\) là 480 Chọn C.