Tìm hệ số của x^10 trong khai triển thành đa thức của {1 + x + {x^2} + {x^3}^5

Ta có: \({\left( {1 + x + {x^2} + {x^3}} \right)^5} = {\left[ {(1 + x) + {x^2}(1 + x)} \right]^5} = {\left[ {(1 + x) \cdot \left( {1 + {x^2}} \right)} \right]^5} = {(1 + x)^5}.{\left( {1 + {x^2}} \right)^5}\).

Xét khai triển \({(1 + x)^5} \cdot {\left( {1 + {x^2}} \right)^5} = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} {x^k} \cdot \sum\limits_{l = 0}^5 {C_5^l} {x^{2l}} = \sum\limits_{k = 0}^5 {\left( {C_5^k \cdot \sum\limits_{l = 0}^5 {C_5^l}  \cdot {x^{k + 2l}}} \right)} \),

Số hạng chứa \({x^{10}}\) tương ứng với \(k,l\) thỏa mãn \(k + 2l = 10 \Leftrightarrow k = 10 - 2l\).

Kết hợp với điều kiện, ta có hệ:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{k = 10 - 2l}\\{0 \le k \le 5,k \in N}\\{0 \le l \le 5,l \in N}\end{array} \Leftrightarrow (k,l) \in \{ (0;5),(2;4),(4;3)\} } \right.\).

Vậy hệ số của \({x^{10}}\) bằng tổng các \(C_5^k \cdot C_5^l\) thỏa mãn

\(C_5^0 \cdot C_5^5 + C_5^2 \cdot C_5^4 + C_5^4 \cdot C_5^3 = 101.\)