Tìm hai số u và v (nếu có) trong mỗi trường hợp sau: a) u + v = –2, uv = –35; b) u + v = 8, uv = 105; c) u + v = –1; u^2 + v^2 = 25.

a) u và v là hai nghiệm của phương trình x² + 2x – 35 = 0.

Phương trình trên có a = 1, b’ = 1, c = ‒25, ∆ = 1² ‒ 1.(‒35) = 1 + 35 = 36 > 0.

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt là

\[{x_1} = \frac{{ - 1 + \sqrt {36} }}{1} = \frac{{ - 1 + 6}}{1} = 5;\]

\[{x_2} = \frac{{ - 1 - \sqrt {36} }}{1} = \frac{{ - 1 - 6}}{1} = - 7.\]

Vậy u = 5; v = –7 hoặc u = –7; v = 5.

b) Ta có S = 8, P = 105 nên S² – 4P = 8² – 4.105 = 64 – 420 = ‒356 < 0.

Do đó không có hai số u và v thoả mãn điều kiện đã cho.

c) Ta có (u + v)² = u² + 2uv + v² = (u² + v²) + 2uv.

Suy ra (–1)² = 25 + 2uv

Hay 2uv = –24

Do đó uv = –12.

Với u + v = –1, uv = –12 ta có u và v là hai nghiệm của phương trình x² + x ‒ 12 = 0.

Phương trình trên có a = 1, b = 1, c = ‒12, ∆ = 1² ‒ 4.1.(‒12) = 1 + 48 = 49 > 0.

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt là

\[{x_1} = \frac{{ - 1 + \sqrt {49} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{ - 1 + 7}}{2} = \frac{6}{2} = 3;\]

\[{x_2} = \frac{{ - 1 - \sqrt {49} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{ - 1 - 7}}{2} = \frac{{ - 8}}{2} = - 4.\]

Vậy u = 3; v = – 4 hoặc u = – 4; v = 3.