Tìm hai số không âm a và b có tổng bằng 10 sao cho: Tổng bình phương của chúng đạt giá trị nhỏ nhất;
Giải thích
Ta có \({\rm{a}} + {\rm{b}} = 10\), suy ra \({\rm{b}} = 10 - {\rm{a}}\).
Vì \({\rm{a}},{\rm{b}} \ge 0\) nên \(10 - {\rm{a}} \ge 0\), suy ra \({\rm{a}} \le 10\).
Ta có \({{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2} = {{\rm{a}}^2} + {(10 - a)^2} = 2{{\rm{a}}^2} - 20{\rm{a}} + 100\).
Xét hàm số \({\rm{S}}({\rm{a}}) = 2{{\rm{a}}^2} - 20{\rm{a}} + 100\) với \({\rm{a}} \in [0;10]\).
Đạo hàm \(S(a) = 4a - 20\). Trên khoảng \((0;10),S(a) = 0\) khi \(a = 5\).
\(S(0) = 100;S(5) = 50;S(10) = 100.{\rm{ }}\)
Do đó, \({\min _{[0,10]}}S(a) = 50\) tại \({\rm{a}} = 5\).
Vậy tống các bình phương của hai số \({\rm{a}}\) và \({\rm{b}}\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(50{\rm{ khi a}} = {\rm{b}} = 5\).