Tìm hai số không âm a và b có tổng bằng 10 sao cho: Biểu thức ab^2 đạt giá trị lớn nhất.

Ta có \({\rm{a}} + {\rm{b}} = 10\), suy ra \({\rm{b}} = 10 - {\rm{a}}\).

Vì \({\rm{a}},{\rm{b}} \ge 0\) nên \(10 - {\rm{a}} \ge 0\), suy ra \({\rm{a}} \le 10\).

Ta có \(a{b^2} = a{(10 - a)^2} = {a^3} - 20{a^2} + 100a\).

Xét hàm số \({\rm{T}}({\rm{a}}) = {{\rm{a}}^3} - 20{{\rm{a}}^2} + 100{\rm{a}}\) với với \({\rm{a}} \in [0;10]\).

Đạo hàm \({\rm{T}}({\rm{a}}) = 3{{\rm{a}}^2} - 40{\rm{a}} + 100\). Trên khoảng \((0;10),S({\rm{a}}) = 0\) khi \({\rm{a}} = \frac{{10}}{3}\).

\({\rm{T}}(0) = 0;T\left( {\frac{{10}}{3}} \right) = \frac{{4000}}{{27}};{\rm{T}}(10) = 0\)

Do đó, \({\max _{[0;10]}}T(a) = \frac{{4000}}{{27}}\) tại \(a = \frac{{10}}{3}\).

Với \(a = \frac{{10}}{3}\) thì \(b = 10 - \frac{{10}}{3} = \frac{{20}}{3}\).

Vậy biếu thức \(a{b^2}\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{{4000}}{3}\) tại \(a = \frac{{10}}{3},b = \frac{{20}}{3}\).