Tìm hai số không âm a và b có tổng bằng 10 sao cho: Biểu thức ab đạt giá trị lớn nhất

Ta có \({\rm{a}} + {\rm{b}} = 10\), suy ra \({\rm{b}} = 10 - {\rm{a}}\).

Vì \({\rm{a}},{\rm{b}} \ge 0\) nên \(10 - {\rm{a}} \ge 0\), suy ra \({\rm{a}} \le 10\).

Ta có \({\rm{ab}} = {\rm{a}}(10 - {\rm{a}}) = - {{\rm{a}}^2} + 10{\rm{a}}\).

Xét hàm số \({\rm{H}}({\rm{a}}) = - {{\rm{a}}^2} + 10{\rm{a}}\) với \({\rm{a}} \in [0;10]\).

Đạo hàm \({{\rm{H}}^\prime }({\rm{a}}) = - 2{\rm{a}} + 10\). Trên khoảng \((0;10),{{\rm{H}}^\prime }({\rm{a}}) = 0\) khi \({\rm{a}} = 5\).

\(H(0) = 0;H(5) = 25;H(10) = 0.{\rm{ }}\)

Do đó, \({\max _{[0,10]}}H(a) = 25\) tại \(a = 5\).

Với \({\rm{a}} = 5\) thì \({\rm{b}} = 10 - 5 = 5\).

Vậy biểu thức \({\rm{ab}}\) đạt giá trị lớn nhất bằng 25 khi \({\rm{a}} = {\rm{b}} = 5\).