Tìm GTNN của biểu thức A = 2x^2 + y^2 + 2xy + 2x - 2y + 2 028

\(A = 2{x^2} + {y^2} + 2xy + 2x - 2y + 2\,\,028\)

\(\,\,\,\,\, = {y^2} + 2y\left( {x - 1} \right) + {\left( {x - 1} \right)^2} + \left( {{x^2} + 4x + 4} \right) + 2\,\,024\)

\[\,\,\,\,\, = {\left( {y + x - 1} \right)^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} + 2\,\,024.\]

Ta có \({\left( {y + x - 1} \right)^2} \ge 0\) và \({\left( {x + 2} \right)^2} \ge 0\)

Suy ra \(A = {\left( {y + x - 1} \right)^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} + 2\,\,024 \ge 2\,\,024.\)

Dấu “=” xảy ra khi \[\left\{ \begin{array}{l}{\left( {y + x - 1} \right)^2} = 0\\{\left( {x + 2} \right)^2} = 0\end{array} \right.,\] tức là \[\left\{ \begin{array}{l}y + x - 1 = 0\\x + 2 = 0\end{array} \right.,\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}y = 3\\x = - 2.\end{array} \right.\]

Vậy GTNN của \(A\) là 2024 đạt được khi \(x = - 2;\,\,y = 3.\)