Tìm GTLN và GTNN của S = x1 + x2 với x1, x2 là nghiệm của phương trình đã cho.

Lời giải:

Xét phương trình (m² + 2m + 2)x² ‒ (m² ‒ 2m + 2)x ‒ 1 = 0

Ta có: ac = (m² + 2m + 2).(‒1) = ‒[(m + 1)² + 1] < 0 nên phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu.

Theo định lí Viète, ta có: \[S = {x_1} + {x_2} = \frac{{{m^2} - 2m + 2}}{{{m^2} + 2m + 2}}\]

Suy ra S.m² + 2Sm + 2S = m² ‒ 2m + 2

Hay (S ‒ 1)m² + 2(S + 1)m + 2(S ‒ 1) = 0 (*)

Phương trình (*) có ∆’ = (S + 1)² ‒ 2(S ‒ 1)² = ‒S² + 6S ‒ 1.

Để tồn tại giá trị của S, m thì phương trình (*) phải có nghiệm m hay ∆’ ≥ 0.

Tức là ‒S² + 6S ‒ 1 ≥ 0 hay \[3 - 2\sqrt 2  \le S \le 3 + 2\sqrt 2 \]

Vậy biểu thức S có GTNN là \[3 - 2\sqrt 2 \], GTLN là \[3 + 2\sqrt 2 \].