Tìm GTLN của A = sinA + sinB + sinC

Ta có: \(\sin A + \sin B = 2\sin \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right).\cos \left( {\frac{{A - B}}{2}} \right)\)

Ta dễ dàng chứng minh được: \(\sin \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right);\cos \left( {\frac{{A - B}}{2}} \right) \ge 0\)

Suy ra: \(\sin A + \sin B \le 2\sin \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)\)

Xét: \(A + \sin \frac{\pi }{3} = \sin A + \sin B + \sin C + \sin \frac{\pi }{3}\)

\( \le 2\sin \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) + 2\sin \left( {\frac{{C + \frac{\pi }{3}}}{2}} \right) \le 4\sin \left( {\frac{{A + B + C + \frac{\pi }{3}}}{4}} \right) = 4\sin \left( {\frac{\pi }{3}} \right) = 2\sqrt 3 \)

Vậy \(A \le 2\sqrt 3 - \sin \frac{\pi }{3} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\)

GTLN của A là \(\frac{{3\sqrt 3 }}{2}\) khi tam giác ABC vuông cân.