Tìm góc giữa các cặp vectơ sau: −−→ A C và −−→ A B ; −−→ A C và −−−→ B ′ D ′ ; −−→ A C và −−→ C D ; −−→ A D ′ và −−→ B D .

a) Ta có: \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right) = \widehat {CAB} = 45^\circ \);  \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {B'D'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {BD'} } \right) = 90^\circ \)

\[\left( {\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {CD} } \right) = \left( {\overrightarrow {CE} ,\,\overrightarrow {CD} } \right) = 180^\circ  - 45^\circ  = 135^\circ \] (\(E\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(C\))

\(\overrightarrow {AD'}  = \overrightarrow {BC'}  \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AD'} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \left( {\overrightarrow {BC'} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \widehat {C'BD}\) mà tam giác \(C'BD\) là tam giác đều nên khi đó ta có \(\widehat {C'BD} = 60^\circ \).

b) Ta có \(AC = BD = B'D' = 5\sqrt 2 \) suy ra:

·   AC→.AB→=AC.AB.cos45°=25.

Do \(AC\) vuông góc với \(B'D'\) nên \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {B'D'}  = 0\).

·   AD'→.BD→=AD'.BD.cos60°=52.2.12=25.

c) Ta cần chứng minh \(\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {BD}  = 0\)

Ta có: \(\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} \) nên \(\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {BD}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'} } \right).\left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} } \right)\)

\[ = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {A{B^2}}  + \overrightarrow {A{D^2}}  - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AB}  = {5^2} - {5^2} = 0\].

Suy ra \(\overrightarrow {AC'} \) vuông góc với \(\overrightarrow {BD} \) (điều phải chứng minh).