Tìm giới hạn của dãy số:

88/235

Tìm giới hạn của dãy số: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 3}\\{{u_{n + 1}} = \frac{1}{2}\left( {{u_n} + \frac{3}{{{u_n}}}} \right)}\end{array}} \right.\), với \(n \in {N^{\rm{*}}}\)

\(\sqrt 2 \).

\(2\sqrt 3 \).

\(\sqrt 3 \).

\(2\sqrt 2 \).

Giải thích

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Xét tính bị chặn của dãy \({u_n}\)

Lời giải

Ta có: \({u_n} > 0,\forall n \in N{\rm{*}}\).

Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{1}{2}\left( {{u_n} + \frac{3}{{{u_n}}}} \right) \ge \sqrt 3 ,\forall n \in N{\rm{*}}\)

Vậy \({u_n}\) là dãy bị chặn dưới.

Vì \({u_n} \ge \sqrt 3 \Rightarrow {u_n}^2 \ge 3 \Rightarrow {u_{n + 1}} = \frac{1}{2}\left( {{u_n} + \frac{3}{{{u_n}}}} \right) \le \frac{1}{2}\left( {{u_n} + \frac{{{u_n}^2}}{{{u_n}}}} \right)\)

Dãy đã cho là dãy giảm. Vậy dãy có giới hạn. Đặt \({\rm{lim}}{u_{n + 1}} = {\rm{lim}}{u_n} = a\)

Ta có: \({\rm{lim}}{u_n} = {\rm{lim}}\left[ {\frac{1}{2}\left( {{u_n} + \frac{3}{{{u_n}}}} \right)} \right] \Rightarrow a = \frac{1}{2}\left( {a + \frac{3}{a}} \right) \Rightarrow {a^2} = 3 \Rightarrow a = \sqrt 3 \)