Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng  d: y = 2x + m cắt đồ thị hàm số

Phương pháp giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm và tìm m thỏa mãn yêu cầu

Giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm

\(\frac{{3x + 2}}{{x - 1}} = 2x + m\)

\( \Leftrightarrow 3x + 2 = (x - 1)(2x + m)\)

\( \Leftrightarrow 3x + 2 = 2{x^2} + mx - 2x - m\)

\( \Leftrightarrow 2{x^2} + (m - 5)x - m - 2 = 0{\rm{ }}*\)

Để d cắt \(y = \frac{{3x + 2}}{{x - 1}}\) tại 2 điểm C, D thì (*) có 2 nghiệm phân biệt

Khi đó có 2 nghiệm x₁ ,x₂\[\] là hoành độ của C, D thỏa mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_C} + {x_D} = \frac{{5 - m}}{2}}\\{{x_C} \cdot {x_D} = \frac{{ - m - 2}}{2}}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow {y_C} + {y_D} = 2{x_C} + m + 2{x_D} + m = \frac{{5 - m}}{2} \cdot 2 + 2m = 5 - m + 2m = m + 5\)

Tọa độ trọng tâm của tam giác OCD là

\(G\left( {\frac{{0 + {x_C} + {x_D}}}{3},{\mkern 1mu} \frac{{0 + {y_C} + {y_D}}}{3}} \right) = \left( {\frac{{5 - m}}{6},{\mkern 1mu} \frac{{m + 5}}{3}} \right)\)

Do G thuộc \(\Delta :2x - y - 4 = 0\) nên

\(2 \cdot \frac{{5 - m}}{6} - \frac{{m + 5}}{3} - 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{5 - m}}{3} - \frac{{m + 5}}{3} - 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow 5 - m - m - 5 - 12 = 0\)

\( \Leftrightarrow - 2m - 12 = 0 \Rightarrow m = - 6\)