Ta có: GM→+GN→+GP→=GA→+AM→+GB→+BN→+GC→+CP→

=AM→+BN→+CP→=kAB→+kBC→+kCA→=k(AB→+BC→+CA→)=0→

Vậy hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

1f:T567,

Media VietJack

(hình 1.55) Gọi M, N, P, Q là trung điểm của AB, BC, CD, DA từ phương trình thứ hai ta được:

0→=OA→+OB→+OC→+OD→=2OM→+2OP→⇔OM→+OP→=0→

⇔M,P,O thẳng hàng và O là trung điểm MP

0→=OA→+OB→+OC→+OD→=2ON→+2OQ→⇔ON→+OQ→=0→ ⇔N,Q,O thẳng hàng và O là trung điểm NQ.

Ta có ΔOAD cân tại O nên NQ⊥AD, ΔOBC cân tại O nên NQ⊥BC suy ra AD//BC

Tương tự AB//DC suy ra ABCD là hình bình hành

Mà N, Q là trung điểm của BC, AD nên AB//NQ⇒AB⊥BC

Suy ra ABCD là hình chữ nhật.

20:T643,

Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau

Cho ba véc tơ a→;b→;c→ đôi một không cùng phương và thỏa mãn điều kiện :

ma→+nb→+pc→=0→m'a→+n'b→+p'c→=0→ m,m'≠0

Chứng minh rằng : mm'=nn'=pp'. Thật vậy :

Dễ thấy m,m'≠0 thì suy ra ngay n, n’, p, p’ cũng phải khác không.

Từ giả thiết ta có : a→=nmb→+pmc→a→=n'm'b→+p'm'c→

vì một véc tơ chỉ phân tích được một cách duy nhất qua hai véc tơ không cùng phương nên nm=n'm';pm=p'm'⇒mm'=nn'=pp'

Trở lại bài toán

Ta có AD→+BE→+CF→=0→⇔ADMAMA→+BEMBMB→+CFMCMC→=0→

Mặt khác ADMA=SABDSABM=SADCSACM=SS−Sa, tương tự BEMB=SS−Sb và CFMC=SS−Sc

(với S=SABC, Sa=SMBC, Sb=SMCA, Sc=SMAB)

Do đó ta có MA→S−Sa+MB→S−Sb+MC→S−Sc=0→

Mặt khác ta cũng có SaMA→+SbMB→+ScMC→=0→

Áp dụng bổ đề suy ra 1S−SaSa=1S−SbSb=1S−ScSc⇔Sa=Sb=Sc hay M trùng trọng tâm tam giác ABC

Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng T=AA'+BB'+CC'+DD'