Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + căn bậc hai (25 - x^2) (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Điều kiện xác định: \(25 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow x \in \left[ { - 5;5} \right]\).

Đạo hàm: \(y' = 1 + \frac{{ - 2x}}{{2\sqrt {25 - {x^2}} }} = 1 - \frac{x}{{\sqrt {25 - {x^2}} }}\).

Giải phương trình \(y' = 0\):

\(1 - \frac{x}{{\sqrt {25 - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \sqrt {25 - {x^2}} = x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{25 - {x^2} = {x^2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{2{x^2} = 25}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = \frac{5}{{\sqrt 2 }} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\).

Tính giá trị tại các điểm biên và điểm cực trị:

\(y\left( { - 5} \right) = - 5 + \sqrt {25 - {{\left( { - 5} \right)}^2}} = - 5\); \(y\left( 5 \right) = 5 + \sqrt {25 - {5^2}} = 5\);

\(y\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right) = \frac{{5\sqrt 2 }}{2} + \sqrt {25 - \frac{{50}}{4}} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2} + \frac{{5\sqrt 2 }}{2} = 5\sqrt 2 \).

So sánh các giá trị thu được: \( - 5 < 5 < 5\sqrt 2 \). Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \( - 5\).

Làm tròn đến hàng đơn vị: \( - 5\).

Đáp án: −5.