Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x^2 + y^2 + xy – 3x – 3y – 3.

Gọi A = x² + y² + xy – 3x – 3y – 3

= (x² – 2x + 1) + (y² – 2y + 1) + (xy – x – y + 1) – 6

= (x – 1)² + (y – 1)² + (x – 1)(y – 1) – 6

 =x−12+2x−1.12y−1+14y−12+34y−12−6
 =x−1+12y−12+34y−12−6

Vì  x−1+12y−12≥0,∀x,y

 34y−12≥0,∀y

Suy ra A ≥ – 6 với mọi x, y

Dấu “ = ” xảy ra khi  x−1+12y−12=034y−12=0

                             ⇔x−1+12y−1=0⇔y−1=0⇔x=y=1

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là –6 khi x = y = 1.