Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T=[(x^3+y^3)−(x^2+y^2)]/[x−1)(y−1

Ta có:T=x3+y3−x2+y2x−1y−1=x2x−1+y2y−1x−1y−1=x2y−1+y2x−1

Do  x>1,y>1 nên x−1>0, y−1>0

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương x2y−1, y2x−1 ta có:

x−1+1≥2x−1⇔x−1−12≥0⇔x−2x−1≥0⇔xx−1≥2y−1+1≥2y−1⇔y−1−12≥0⇔y−2y−1≥0⇔xy−1≥2

Do đó: T=x2y−1+y2x−1≥2xyx−1.y−1≥8

Dấu “=” xẩy ra khi x2y−1=y2x−1x−1=1y−1=1⇔x=2y=2  (thỏa mãn điều kiện)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thứcT= 8 khi x=y= 2