Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = A . B với x lớn hơn 1.

d) Với \(x > 1,\) ta có:

P=A.B=xx+12x−1.2x=x+1x−1=x−1+2x−1=x+1x−1x−1+2x−1=x+1+2x−1

Xét \(P = \sqrt x + 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}} = \sqrt x - 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}} + 2\) với \(x > 1.\)

Do \(x > 1\) nên \(\sqrt x - 1 > 0\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

\(\sqrt x - 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}} \ge 2\sqrt {\left( {\sqrt x - 1} \right).\frac{2}{{\sqrt x - 1}}} \)

\(\sqrt x - 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}} \ge 2\sqrt 2 \)

\(\sqrt x - 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}} + 2 \ge 2\sqrt 2 + 2\)

Suy ra \(P \ge 2\sqrt 2 + 2\) với \(x > 1\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\sqrt x - 1 = \frac{2}{{\sqrt x - 1}}\) .

Giải phương trình:

\(\sqrt x - 1 = \frac{2}{{\sqrt x - 1}}\)

\({\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} = 2\)

\(\sqrt x - 1 = \sqrt 2 \) (do \(\sqrt x - 1 > 0)\)

\(\sqrt x = \sqrt 2 + 1\)

\(x = 3 + 2\sqrt 2 \) (thỏa mãn).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P = 2\sqrt 2 + 2\) khi \(x = 3 + 2\sqrt 2 \).