Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a + b .

Từ \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 6\) và \(c = - a - b\) suy ra \({a^2} + {b^2} + {\left( {a + b} \right)^2} = 6,\) hay \({a^2} + {b^2} + ab = 3\,\,\,\left( 1 \right)\)

Do \(a \ge b \ge c\) nên \(a + 2b \ge a + b + c = 0\) và \(b + 2a \ge a + b + c = 0.\)

Suy ra \(\left( {a + 2b} \right)\left( {b + 2a} \right) \ge 0\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\left( {{a^2} + {b^2} + ab} \right) + \left( {a + 2b} \right)\left( {b + 2a} \right) \ge 3\)

\({a^2} + {b^2} + ab + ab + 2{a^2} + 2{b^2} + 4ab \ge 3\)

\(3\left( {{a^2} + 2ab + {b^2}} \right) \ge 3\)

\({\left( {a + b} \right)^2} \ge 1.\)

Suy ra \(a + b \ge 1\) hoặc \(a + b \le - 1.\)

Nếu \(a + b \le - 1\) thì \(c \ge 1 > 0 > a + b,\) mâu thuẫn, suy ra \(a + b \ge 1.\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a = 2;\,\,b = c = - 1.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) bằng \[1.\]