Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=x^2−2x(y+1)+3y^2+2025.
Giải thích
\(M = {x^2} - 2x\left( {y + 1} \right) + 3{y^2} + 2025\)
\(\begin{array}{l} = {x^2} - 2x\left( {y + 1} \right) + {\left( {y + 1} \right)^2} + 2{y^2} - 2y + 2024\\ = {\left( {x - y - 1} \right)^2} + 2\left( {{y^2} - y + \frac{1}{4}} \right) + \frac{{4047}}{2}\\ = {\left( {x - y - 1} \right)^2} + 2{\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{4047}}{2}\end{array}\)
Ta có \(M = {\left( {x - y - 1} \right)^2} + 2{\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{4047}}{2} \ge \frac{{4047}}{2}\).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = \frac{3}{2};y = \frac{1}{2}.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức M là \(\frac{{4047}}{2}\)khi \(x = \frac{3}{2};y = \frac{1}{2}.\)