Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x^2 - 2x(y + 1) + 3y^2 + 2025.

Ta có: \(M = {x^2} - 2x\left( {y + 1} \right) + 3{y^2} + 2025\)

\( = {x^2} - 2x\left( {y + 1} \right) + {\left( {y + 1} \right)^2} - \left( {{y^2} + 2y + 1} \right) + 3{y^2} + 2025\)

\( = {x^2} - 2x\left( {y + 1} \right) + {\left( {y + 1} \right)^2} + 2{y^2} - 2y + 2024\)

\( = \left[ {{x^2} - 2x\left( {y + 1} \right) + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \right] + 2\left( {{y^2} - y + \frac{1}{4}} \right) + 2024 - \frac{1}{2}\)

\( = {\left( {x - y - 1} \right)^2} + 2{\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{4047}}{2}.\)

Nhận xét: với mọi \(x,y\) ta có:

• \({\left( {x - y - 1} \right)^2} \ge 0;\)

• \(2{\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\)

Do đó \(M = {\left( {x - y - 1} \right)^2} + 2{\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{4047}}{2} \ge \frac{{4047}}{2}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - y - 1} \right)^2} = 0\\2{\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} = 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x - y - 1 = 0\\y - \frac{1}{2} = 0\end{array} \right.\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{2}\\y = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M\) là \(\frac{{4047}}{2}\) khi \(x = \frac{3}{2}\) và \(y = \frac{1}{2}.\)