Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = | x − 2021 | + 2022 | / x − 2021 | + 2023 , với x là số nguyên.
Giải thích
Ta có \(M = \frac{{\left| {x - 2021} \right| + 2022}}{{\left| {x - 2021} \right| + 2023}} = \frac{{\left( {\left| {x - 2021} \right| + 2023} \right) - 1}}{{\left| {x - 2021} \right| + 2023}} = 1 - \frac{1}{{\left| {x - 2021} \right| + 2023}}\).
Ta có \(\left| {x - 2021} \right| \ge 0\).
Suy ra \(\left| {x - 2021} \right| + 2023 \ge 2023\).
Khi đó \(\frac{1}{{\left| {x - 2021} \right| + 2023}} \le \frac{1}{{2023}}\).
Vì vậy \( - \frac{1}{{\left| {x - 2021} \right| + 2023}} \ge - \frac{1}{{2023}}\).
Do đó \(1 - \frac{1}{{\left| {x - 2021} \right| + 2023}} \ge 1 - \frac{1}{{2023}} = \frac{{2022}}{{2023}}\).
Dấu “=” xảy ra khi \(x = 2021\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(M\) là \(\frac{{2022}}{{2023}}\) khi \(x = 2021\).