Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 3x2 + y2 ‒ 8x ‒ 4y + 2xy + 2028.
Giải thích
M = 3x2 + y2 ‒ 8x ‒ 4y + 2xy + 2028
= 2x2 + x2 + y2 ‒ 8xx ‒ 4y + 2xy+ 2028
= (2x2 ‒ 8x + 8) + (x2 + 2xy + y2) + 2020
= 2.(x2 ‒ 4x + 4) + (x+y)2 + 2020
= 2.(x−2)2 + (x +y)2 + 2020
Vì (x−2)2 ≥ 0 với mọi x nên 2.(x ‒ 2)2 ≥ 0 với mọi x
(x+y)2 ≥ 0 với mọi x;y
Suy ra 2.(x−2)2 + (x+y)2 + 2020 ≥ 2020
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 2020 khi x ‒ 2 = 0 và x + y = 0, tức là x = 2 và y = ‒2.